Vérification de Matrices Stochastiques et de Tableaux Stables

Exercice 3 (4,5 points)

En mathématique, une matrice carrée $M$ de dimension $n \times n$ est dite stochastique (ou encore matrice de Markov) lorsque chaque élément de la matrice est un réel de l'intervalle $[0, 1]$ et la somme des éléments de chaque ligne est égale à 1.

Un tableau $T$ de $n$ réels est dit stable pour une matrice stochastique $M$ lorsque le tableau $P$ résultat du produit de $T$ et $M$ vérifie $P = T$ ($T \times M = P = T$), sachant que le tableau $P$ est obtenu comme suit :

$$P[j] = \sum_{i=0}^{n-1} M[i, j] \ast T[i] \quad \text{avec } 0 \leq j \leq n - 1$$

Exemple : Pour la matrice carrée $M$ de dimension $3 \times 3$ et le tableau $T$ de 3 éléments suivants :

(Tableau M et T omis ici, voir description visuelle)

Travail demandé :

1) Déclarer un type pour chacune des variables $M$ et $T$.

2) Ecrire un algorithme d'une fonction Stochastique(M,n) qui permet de vérifier si la matrice carrée $M$ de dimension $n \times n$ est stochastique.

N.B. : Le candidat n'est pas appelé à saisir $M$ et $n$.

3) Ecrire un algorithme d'une fonction M_Stable(M,n,T) qui permet de vérifier si un tableau $T$ de $n$ réels est stable pour la matrice carrée $M$ de dimension $n \times n$.

N.B. : Le candidat n'est pas appelé à saisir $M, n$ et $T$ et on supposera que la matrice $M$ est stochastique.

This question includes visual content: L'image contient deux tableaux de données. Le premier est une matrice carrée $M$ de dimension $3x3$ avec des indices de lignes et colonnes de 0 à 2. Les valeurs sont : ligne 0 (0,5, 0,3, 0,2), ligne 1 (0,2, 0,8, 0), ligne 2 (0,3, 0,3, 0,4). Le second est un tableau horizontal $T$ de 3 éléments avec des indices de 0 à 2 et les valeurs (3, 6, 1). Il y a aussi une formule mathématique pour le calcul de $P[j]$ utilisant une sommation de $i=0$ à $n-1$ de $M[i, j] * T[i]$.