Üslü Sayılarla Kurulan Eşitlik Problemi

Selam Ömer, seninle birlikte bu güzel üslü sayılar sorusunu çözelim.

Öncelikle bize verilen A kümesinin elemanlarını listeleyelim. Kümemiz iki, üç, dört, beş, altı, yedi, sekiz ve dokuz rakamlarından oluşuyor.

K ve L sayıları bu kümeden seçilen dört farklı rakamla oluşturuluyor. İkisi taban, ikisi üs olacak.

Bize verilen eşitliğe bakalım: dört çarpı K, yirmi yedi çarpı L'ye eşitmiş.

Dört ve yirmi yedi sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. Dört, ikinin karesidir. Yirmi yedi ise üçün küpüdür.

Bu eşitliğin sağlanabilmesi için tabanların iki ve üç olması gerektiğini fark edebiliriz. Çünkü kümemizdeki diğer sayılar, yani beş ve yedi asalları bu çarpanları dengeleyemez.

Eşitliğin sol tarafında iki çarpanı, sağ tarafında üç çarpanı var. O halde K'nın tabanı olan a, üç olmalı; L'nin tabanı olan c ise iki olmalı.

Şimdi bu değerleri ana denklemimize yerleştirelim.

Üstleri bir araya toplarsak, tabanı iki olanlar ve tabanı üç olanlar arasında bir ilişki kurabiliriz.

Buradan üç üzeri b eksi üç eşittir iki üzeri d eksi iki sonucuna ulaşırız.

Bir üslü denklemde tabanlar aralarında asalken eşitlik ancak üslerin sıfır olmasıyla mümkündür.

Ancak bir sorun var. Soru bizden dört farklı rakam seçmemizi istiyor. Burada b eşittir üç ve a eşittir üç oldu, bu durum 'farklı rakam' kuralına aykırı.

O halde tabanları daha büyük kuvvetler şeklinde seçmeliyiz. Önceki adımda altı, beş ve yedi sayılarını zaten kullanamayacağımızı anlamıştık. Geriye iki, üç, dört, sekiz ve dokuz kalıyor.

Eşitliği tekrar yazalım: iki üzeri iki çarpı K, üç üzeri üç çarpı L ye eşit.

K sayısını dokuz üzeri b, L sayısını sekiz üzeri d olarak deneyelim. Dokuz üçün karesidir, sekiz ise ikinin küpüdür.

Yerine koyalım: iki üzeri iki çarpı üç üzeri iki b eşittir üç üzeri üç çarpı iki üzeri üç d.

Yine gruplayalım: üç üzeri iki b eksi üç, iki üzeri üç d eksi iki ye eşit olmalı.

Yine üslerin sıfır olması gerekir. Fakat iki b eksi üç eşittir sıfır denklemi tam sayı sonuç vermez. Demek ki K veya L'den sadece birini bu şekilde seçmeliyiz.

Şimdi şuna bakalım: Eğer K eşittir dokuz ve L eşittir sekiz seçersek ne olur? Yani üsleri bir alalım.

Doğru kombinasyonu arayalım. K eşittir dokuz üzeri iki olsun, L ise sekiz üzeri iki. Bu durumda tabanlardan biri dokuz diğeri sekiz, üsler ise iki olur. Rakamlar dokuz, sekiz ve iki. Farklı olması için dördüncü rakama ihtiyacımız var.

Denklemi şu şekilde sağlatalım. K eşittir sekiz üzeri iki olsun, L ise dokuz üzeri iki. Dört çarpı sekiz üzeri iki, yani iki üzeri iki çarpı iki üzeri altıdan iki üzeri sekiz yapar. Sağ taraf ise üç üzeri üç çarpı dokuzun karesi, yani üç üzeri yedi. Eşitlik sağlanmadı.

K eşittir dokuz üzeri iki ve L eşittir sekiz üzeri bir olsa? Üç üzeri üç çarpı iki üzeri üç. Yine olmadı.

Bu durumda K eşittir üç üzeri iki yani dokuz. L eşittir iki üzeri dört yani on altı olur. Eşitliği deneyelim.

Doğru eşleşmeyi bulalım. K eşittir üç üzeri sekiz olursa çok büyük olur. Gelin K eşittir üç üzeri dört ve L eşittir iki üzeri sekiz diyelim.

Burada K eşittir üç üzeri beş olmalı ama beş taban değil. O zaman K eşittir dokuz üzeri üç diyelim. L ise sekiz üzeri iki olsun.

Eşitliği kontrol edelim: iki üzeri iki çarpı üç üzeri altı, sol taraf. Üç üzeri üç çarpı iki üzeri altı, sağ taraf. Yine eşitlik yok.

Şimdi şunu fark edelim: K eşittir üç üzeri altı değil de, K eşittir sekiz üzeri üç ve L eşittir dokuz üzeri iki olsun mu?

Eşitlik: dört çarpı iki üzeri dokuz eşittir iki üzeri on bir. Sağ taraf: yirmi yedi çarpı üç üzeri dört, yani üç üzeri yedi. Yine olmadı.

Tekrar başa dönelim. Dört çarpı K eşittir yirmi yedi çarpı L. K'nın içinde kesinlikle yirmi yedi çarpanı, L'nin içinde ise dört çarpanı olmalı.

K'yı dokuz üzeri iki, yani üç üzeri dört olarak seçelim. L'yi ise iki üzeri altı yani sekiz üzeri iki olarak seçelim.

Kontrol: dört çarpı seksen bir eşittir üç yüz yirmi dört. Yirmi yedi çarpı atmış dört eşittir bin yedi yüz yirmi sekiz. Olmadı.

Üç üzeri beş için kümede beş var. İki üzeri dört için kümede dört var. Seçilen rakamlar: üç, beş, iki, dört. Hepsi farklı ve kümede var!

Kontrol edelim: Dört çarpı üç üzeri beş eşittir iki üzeri iki çarpı üç üzeri beş. Sağ taraf: Yirmi yedi çarpı iki üzeri dört eşittir üç üzeri üç çarpı iki üzeri dört. Yine eşitlik gelmedi.