Untersuchung von quadratischen Funktionen und Extremwertproblemen
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -3x^2 + 12x - 6$, $x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild $K_f$ ist unten abgebildet.
4.1 Berechnen Sie die Nullstellen von $f$. (3 Punkte)
4.2 Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührpunktes von $K_f$ und der Geraden mit der Gleichung $y = 3x + 0,75$. (4 Punkte)
4.3 Die Punkte $O(0|0)$, $P(u|0)$ und $Q(u|f(u))$ bilden für $1 \le u \le 3$ das Dreieck $OPQ$.
Zeichnen Sie das Dreieck für $u = 2$ in das nebenstehende Schaubild ein.
Berechnen Sie, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird. (9 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit der Kurve $K_f$, einer nach unten geöffneten Parabel. Die y-Achse zeigt Werte von 4 bis 6 an. Das Gitter ist sichtbar. Die Kurve hat ihren Scheitelpunkt bei ca. $x=2, y=6$.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der quadratischen Funktion f von x gleich minus drei x quadrat plus zwölf x minus sechs. Wir werden die Nullstellen berechnen, einen Berührpunkt mit einer Geraden finden und ein Dreieck optimieren.
Quadratische Funktionen Analyse
Beginnen wir mit Aufgabenteil 4.1: Den Nullstellen. Wir setzen die Funktion gleich Null.
4.1 Nullstellen berechnen
Um die Mitternachtsformel oder die p-q-Formel leichter anzuwenden, teilen wir die gesamte Gleichung durch minus drei.
Jetzt nutzen wir die p-q-Formel mit p gleich minus vier und q gleich zwei.
Das vereinfacht sich zu zwei plus oder minus die Wurzel aus zwei. Das sind unsere Nullstellen.
Kommen wir zu Teil 4.2. Wir suchen den Berührpunkt mit der Geraden y gleich drei x plus null Komma sieben fünf. An einem Berührpunkt müssen die Funktionswerte und die Steigungen gleich sein.
4.2 Berührpunkt bestimmen
Da es sich um einen Berührpunkt handelt, setzen wir die Ableitung der Funktion gleich der Steigung der Geraden, also drei.
Wir lösen nach x auf. Zuerst subtrahieren wir zwölf.
Dann teilen wir durch minus sechs und erhalten x gleich eins Komma fünf.
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