Türevlenebilirlik ve Limit Problemi
Yayınlanma:
3. $f(x)$ tanım aralığında türevlenebilen bir fonksiyon olmak üzere, $$ \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 2}{x - 2} = -3 $$ eşitliği sağlanmaktadır. $$ g(x) = \begin{cases} f(x) + ax + 1 & , x < 2 \\ x^2 \cdot f(x) + b & , x \ge 2 \end{cases} $$ şeklinde tanımlı $g(x)$ fonksiyonu $x = 2$ noktasında türevli olduğuna göre, $a$ gerçel sayısının değeri kaçtır? A) $-1$ B) $1$ C) $2$ D) $3$ E) $4$
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ceylan, bu güzel türev sorusunu birlikte adım adım çözelim.
Fonksiyonlarda Türevlenebilme
İlk olarak bize verilen limit bilgisini analiz edelim. İlk bakışta, x ikiye giderken paydanın sıfır olduğunu görüyoruz.
Limitin bir reel sayıya, yani eksi üçe eşit olabilmesi için payın da sıfır olması gerekir. Yani f iki değeri ikiye eşittir.
Ayrıca bu ifade türev tanımıdır. Yani f fonksiyonunun iki noktasındaki türevi eksi üçtür. Bu iki bilgiyi bir kenara not edelim.
Şimdi g parça fonksiyonuna bakalım. g fonksiyonu x eşittir iki noktasında türevliymiş. Bir fonksiyon türevliyse, o noktada kesinlikle süreklidir.
g(x) Fonksiyonu Analizi
1. Süreklilik Şartı
Süreklilik gereği, fonksiyonun x eşittir iki noktasındaki sağ ve sol limitleri birbirine eşit olmalıdır.
Daha önce f iki değerini iki bulmuştuk. Yerine yazarsak iki artı iki a artı bir, eşittir dört çarpı iki artı b olur.
Düzenlediğimizde üç artı iki a, sekiz artı beye eşit çıkar. Buradan iki a eksi b eşittir beş denklemini elde ederiz.
Şimdi ikinci adıma, yani türevlilik şartına geçelim. x eşittir iki noktasında türevli olması için sağ ve sol türevlerin eşit olması gerekir.
g(x) Fonksiyonu Analizi
2. Türevlilik Şartı
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
