Türev ve Teğet Geometrisi
Yayınlanma:
4. Aşağıdaki dik koordinat düzleminde $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiğine teğet olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları arasındaki açı $45^{\circ}$ dir.
[Grafik]
f fonksiyonu $d_1$ doğrusuna $x=6$ apsisli, $d_2$ doğrusuna $x=1$ apsisli noktada teğettir.
Buna göre, $f'(1)$ değeri kaçtır?
A) $-\frac{1}{5}$
B) $-\frac{1}{4}$
C) $-\frac{1}{3}$
D) $-\frac{1}{2}$
E) $-\frac{2}{3}$
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde, tepe noktası 1 olan ve artan bir $y=f(x)$ eğrisi çizilmiştir. $d_1$ ve $d_2$ doğruları bu eğriye teğettir. $d_1$ doğrusu artan bir eğime sahiptir ve $x=6$ noktasında fonksiyona teğettir. $d_2$ doğrusu ise $x=1$ noktasında fonksiyona teğettir ve x eksenine paralel görünmektedir. $d_1$ doğrusu x eksenini $(3,0)$ noktasında kesmektedir. İki teğet doğrusu arasında kalan dar açı $45^{\circ}$ olarak işaretlenmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Selin, bugün seninle türev ve eğim arasındaki ilişkiyi kullanarak güzel bir analitik geometri sorusu çözeceğiz.
Teğet Eğimi ve Türev İlişkisi
Grafiği incelediğimizde, f fonksiyonunun x eşittir altı noktasındaki teğetinin d bir doğrusu olduğunu görüyoruz. Bir noktadaki teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
d bir doğrusunun x eksenini kestiği nokta üç, teğet noktası ise altıya iki olarak verilmiş. Bu iki noktayı kullanarak eğimi hesaplayalım.
Şimdi d iki doğrusuna bakalım. Bu doğru f fonksiyonuna x eşittir bir noktasında teğet. Dolayısıyla d iki doğrusunun eğimi, f türev bir değerine eşittir.
d2 Doğrusunun Eğimi
Soruda d bir ve d iki doğruları arasındaki açının kırk beş derece olduğu belirtilmiş. İki doğru arasındaki açı formülünü hatırlayalım.
Burada teta yerine kırk beş derece yazacağız. Tanjant kırk beş değerinin bire eşit olduğunu biliyoruz.
Bulduğumuz m bir değerini ve m iki yerine f türev bir yazarak denklemimizi kuralım.
Mutlak değerin içindeki ifade bir veya eksi bir olabilir. Grafiğe baktığımızda d iki doğrusunun sola yatık olduğunu, yani eğiminin negatif olması gerektiğini görüyoruz.
Grafikten görüldüğü üzere $d_2$ sola yatıktır, yani $f'(1) < 0$ olmalıdır.
Çözümün devamı Solvi’de
7 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
