Fonksiyon ve Türevi İlişkisi

MathematicsTürev (Derivative)ZorYKS

Yayınlanma:

Soru

27. Gerçel sayılarda sürekli f fonksiyonunun türevi olan f' fonksiyonunun grafiği aşağıdaki dik koordinat düzleminde verilmiştir. (Grafik açıklaması: $x < 0$ için $f'(x)=3$ ve $x > 0$ için $f'(x)=-2$ değerini almaktadır.) Buna göre, I. f fonksiyonunun x = 0 noktasında yerel maksimum değeri vardır. II. $(-\infty, 0)$ aralığında azalan fonksiyondur. III. $f(3) - f(4) = 6$'dır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III

Soruda görsel içerik var: Dik koordinat düzleminde $f'(x)$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafik, $x=0$ noktasının sol tarafında $y=3$ seviyesinde yatay bir doğru parçası, $x=0$ ile $x=4$ arasında ise $y=-2$ seviyesinde yatay bir doğru parçası şeklindedir. $x=0$ noktasında bir sıçrama (süreksizlik) bulunmaktadır.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Sevim! Bu videoda seninle türev grafiklerini yorumlamayı öğreten harika bir soruyu birlikte çözeceğiz.

f' Fonksiyonunun Grafiği

2
Adım 2

İlk olarak, soruda verilen grafiği daha net görebilmek için temiz bir çizimini yapalım. Grafikte f'in türevi fonksiyonunun parçalı bir yapıda olduğunu görüyoruz.

xy03-234f'(x)
3
Adım 3

Grafiğe bakarak türev fonksiyonumuzu parçalı biçimde yazalım. Sıfırdan küçük değerler için türevimiz üç, sıfırdan büyük değerler için ise eksi ikidir.

$$f'(x) = \begin{cases} 3, & x < 0 \\ -2, & x > 0 \end{cases}$$
4
Adım 4

Şimdi birinci öncülü inceleyelim. Öncülümüz, f fonksiyonunun x eşittir sıfır noktasında bir yerel maksimumu olduğunu söylüyor.

Öncül I: Yerel Maksimum Kontrolü

$$\text{I. } f \text{ fonksiyonunun } x = 0 \text{ noktasında yerel maksimumu vardır.}$$
5
Adım 5

Bir fonksiyonun yerel maksimumu olması için, türevin işareti pozitiften negatife değişmelidir ve fonksiyon bu noktada sürekli olmalıdır.

Süreklilik ve Türev İşareti

$$\text{f fonksiyonu gerçek sayılarda süreklidir (Soruda verilmiş).}$$
6
Adım 6

Türevin işaret tablosunu oluşturalım. Sıfır noktasının solunda türev artı üç yani pozitif, sağında ise eksi iki yani negatiftir.

x-\infty0+\inftyf'(x)+-
7
Adım 7

Türevin pozitif olduğu bölgede f fonksiyonu artan, negatif olduğu bölgede ise azalandır. Dolayısıyla, sıfır noktasında bir tepe noktası yani yerel maksimum oluşur.

8
Adım 8

Bu durumda birinci öncül kesinlikle doğrudur.

9
Adım 9

Şimdi ikinci öncülü değerlendirelim. Öncülümüz, f fonksiyonunun eksi sonsuz sıfır aralığında artan bir fonksiyon olduğunu belirtiyor.

Öncül II: Artanlık Kontrolü

$$\text{II. } (-\infty, 0) \text{ aralığında artan fonksiyondur.}$$
10
Adım 10

Bir fonksiyonun bir aralıkta artan olması için, o aralıktaki tüm x değerleri için türevinin pozitif olması gerekir.

$$x < 0 \implies f'(x) = 3 > 0$$

Çözümün devamı Solvi’de

9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Türev (Derivative)
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Türev ve Teğet Geometrisi Türev (Derivative) · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir