Silindir Hacim ve Alan Optimizasyonu

Merhaba arkadaşlar. Bu soruda bizden, altmış dört santimetreküp hacminde ve üstü açık, silindir şeklinde bir kutu tasarlamamız isteniyor.

Fakat burada çok önemli bir kısıtımız var: Bu tasarımı en az alüminyumla, yani minimum yüzey alanıyla yapmamız gerekiyor.

Hemen gözümüzde canlanması için üstü açık bir silindir çizelim ve boyutlarını harflerle temsil edelim. Taban yarıçapına r ve silindirin yüksekliğine de h diyelim.

İlk olarak elimizdeki mevcut bilgiyi kullanarak hacim denklemimizi yazalım. Silindirin hacmi taban alanı ile h yüksekliğinin çarpımıdır.

Asıl minimum yapmak istediğimiz yüzey alanı için de bir formül oluşturmalıyız. Dikkat edin, kutunun üstü açık olduğu için bir tane tavan alanını kaybediyoruz.

Bu yüzden toplam alan ifade olarak bir taban alanı olan pi r kare ile kutunun etrafı olan iki pi r h yanal alanının toplamından ibarettir.

Optimizasyon işlemi için kullanacağımız alan formülüne baktığımızda r ve h olmak üzere iki farklı değişken görüyoruz. Oysa biz türev almak için sadece tek bir değişkene ihtiyaç duyarız.

Hacim denkleminden yararlanarak h yüksekliğini sadece r cinsinden yalnız bırakalım.

Alan denklemindeki h yerine şimdi bu kesirli ifadeyi yerleştirelim ve nasıl bir ifade çıkacağına bakalım.

Bu karışık ifadenin ikinci terimindeki çarpma işleminde biraz sadeleşmeye ihtiyacımız var. Pay ve paydadaki pi ile r çarpanlarından biri birbirlerini götürür.

Sadeleştiğinde, iki ile altmış dördün çarpımı yüz yirmi sekiz yapar. Böylece en saf haliyle sadece r yarıçapına bağlı alan fonksiyonumuzu bulmuş olduk.