Kümeler ve Mutlak Değer Sorusu

Merhaba! Bu soruda se beş adet rakam verilmiş ve bu rakamların mutlak değerleriyle oluşturulan kümeler üzerinden bir toplamın en büyük değerini bulmamız isteniyor.

Öncelikle temel bilgileri not edelim. A, b, c, d ve e sıfırdan farklı birer rakamdır. Yani bu sayılar eksi dokuz ile artı dokuz aralığındaki tam sayılardır.

A kümesi bu sayıların kendisini, B kümesi ise mutlak değerlerini içeriyor. Birleşimin eleman sayısı sekiz olarak verilmiş.

Birleşimin eleman sayısını bulmak için kullandığımız temel formülü hatırlayalım: A birleşim B'nin eleman sayısı, A'nın eleman sayısı artı B'nin eleman sayısı eksi kesişimin eleman sayısıdır.

Küme mantığına göre bir kümede aynı eleman iki kez yazılmaz. Beş farklı sayı seçtiğimizi varsayarsak, s(A) beştir. Mutlak değerlerini aldığımızda B kümesinin eleman sayısının da en fazla beş olabileceğini görürüz.

Buradan s(B) eksi kesişimin eleman sayısının üç olması gerektiğini anlıyoruz. Peki, A'nın hangi elemanları B kümesine de aittir?

Eğer bir sayı pozitifse, kendisi ve mutlak değeri aynıdır. Yani a pozitifse a eşittir mutlak değer a olur ve bu durumda kesişime girer. Toplamın en büyük olması için sayıları mümkün olduğunca büyük seçmek istiyoruz.

Şimdi durumu analiz edelim. Elimizde beş sayı var. Eğer iki sayı negatif, üç sayı pozitif olursa ne olur bir bakalım.

Pozitif sayılar kendilerine eşit olduğu için kesişime 3 eleman eklerler. Negatif sayıların mutlak değerleri pozitif olacağı için onlar A'da bulunmazlar, yani kesişime girmezler. Toplamda sekiz elemana bu şekilde ulaşabiliriz.