Giải bài toán cực trị có điều kiện bằng phương pháp Lagrange

Question

Câu 9. Giải bài toán cực trị có điều kiện sau bằng phương pháp Lagrange (sử dụng ma trận Hessian):

Tìm cặp số thực $(x, y)$ để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của:

$$f(x, y) = (x - 2)^2 + \left( y - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2 + 64$$

với điều kiện

$$\phi(x, y) = x^2 + 3y^2 - 17 = 0.$$

(Chú ý: Các con số phải tính chính xác, không làm tròn).

Solvi · Accepted Answer

Chào các bạn! Hôm nay chúng ta sẽ giải quyết bài toán tìm cực trị có điều kiện bằng phương pháp nhân tử Lagrange và kiểm tra bằng ma trận Hessian. Để bắt đầu, chúng ta lập hàm Lagrange L bằng cách lấy hàm mục tiêu f cộng với lam-đa nhân với hàm điều kiện phi. Các điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình gồm các đạo hàm riêng bậc nhất bằng không. Từ hai phương trình đầu, chúng ta có thể biểu diễn x và y theo lam-đa. Suy ra x bằng hai trên một cộng lam-đa, và y bằng mười sáu trên căn ba nhân với một cộng ba lam-đa. Tiếp theo, chúng ta giải phương trình điều kiện để tìm lam-đa. Nhận thấy khi lam-đa bằng một, phương trình thỏa mãn: bốn chia bốn cộng hai trăm năm mươi sáu chia mười sáu bằng một cộng mười sáu là mười bảy. Xét trường hợp thứ hai, khi lam-đa bằng trừ một phần mười bảy, chúng ta thu được điểm dừng tiếp theo. Thử nghiệm thêm giá trị lam-đa bằng trừ một phần ba, ta thấy mẫu số của y triệt tiêu, nên ta cần tìm nghiệm khác của phương trình bậc bốn rút gọn.

Giải bài toán cực trị có điều kiện bằng phương pháp Lagrange

Animated Video Solution

Step by Step Written Solution