Fonksiyon ve Türev Çarpımı Eşitsizliği
Yayınlanma:
22. Dik koordinat düzleminde $x = -3$ apsisli noktasında x-eksenine teğet olan $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
[Görsel açıklamadaki gibi bir grafik]
a ve b birer doğal sayı olmak üzere
$$f(x) \cdot f'(x) \le 0$$
eşitsizliğini sağlayan 7 tane x doğal sayısı olduğuna göre $a \cdot b$ çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
Soruda görsel içerik var: A Cartesian coordinate system showing the graph of a function y = f(x). The graph has several key points: it is tangent to the x-axis at x = -3 (a local maximum). It crosses the y-axis at a negative value. It has a local minimum at x = a (where 0 < a < 4). It crosses the x-axis at x = 4. It has a local maximum at x = b (where 4 < b < 9). It crosses the x-axis again at x = 9. Dotted lines indicate the x-coordinates a and b correspond to the local minimum and local maximum points respectively. The x and y axes are labeled. The function curve is continuous.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba, bu soruda bize verilen grafik üzerinden bir eşitsizlik sistemini inceleyeceğiz ve a çarpı b'nin en büyük değerini bulacağız.
Fonksiyon ve Türev Grafiği Analizi
Eşitsizliğimiz, f x çarpı f türev x küçük eşittir sıfır olarak verilmiş. Bu, f ile türevinin zıt işaretli olduğu veya en az birinin sıfır olduğu bölgeleri aradığımız anlamına gelir.
Öncelikle kilit noktalarımızı belirleyelim. f x'in kökleri eksi üç, dört ve dokuzdur. Ayrıca eksi üç noktasında çift katlı kök vardır çünkü grafik teğettir.
Türevin kökleri ise yerel ekstremum noktalarıdır. Grafikte a noktasında bir yerel minimum ve b noktasında bir yerel maksimum görüyoruz. Ayrıca teğet olduğu eksi üç noktası da türevin bir köküdür.
Şimdi bir işaret tablosu oluşturarak doğal sayı olan x değerlerini inceleyelim. Soru bizden x dozal sayılarını istediği için sıfırdan büyük değerlere odaklanacağız.
İşaret Tablosu (x ≥ 0)
| x Aralığı | f(x) | f'(x) | f(x) ∙ f'(x) |
|---|---|---|---|
| [0, a] | (-) | (-) | (+) |
| a | (-) | 0 | 0 |
| [a, 4] | (-) | (+) | (-) |
| 4 | 0 | (+) | 0 |
| [4, b] | (+) | (+) | (+) |
| b | (+) | 0 | 0 |
| [b, 9] | (+) | (-) | (-) |
| 9 | 0 | (-) | 0 |
| x > 9 | (-) | (-) | (+) |
Tablodan görüldüğü üzere eşitsizliğin yani çarpımın negatif veya sıfır olduğu bölgeler: x eşittir a, a ile dört aralığı, x eşittir dört, x eşittir b, b ile dokuz aralığı ve x eşittir dokuzdur.
Bu aralıklardaki tam sayıları yazarsak: a, a artı bir, ta ki dörde kadar olan sayılar ve b, b artı bir, ta ki dokuza kadar olan sayılar çözüm kümemizdedir.
Çözümün devamı Solvi’de
6 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
