Fonksiyon Grafikleri ve Eşitsizlik Sistemleri
Yayınlanma:
4. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $f, g$ ve $h$ fonksiyonlarının grafikleri aşağıda verilmiştir.
[Grafik 1: $y=f(x)$, x-eksenini -3 ve 1'de kesiyor]
[Grafik 2: $y=g(x)$, x-eksenini -3'te, y-eksenini 3'te kesiyor]
[Grafik 3: $y=h(x)$, orijinden geçiyor]
$y=h(x)$ doğrusunun eğimi 1 olmak üzere
• $f(x) \cdot g(x) \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi A,
• $\dfrac{f(x)}{h(x)} \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi B dir.
Buna göre $A \cap B$ kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
A) 6
B) 4
C) 0
D) -4
E) -5
Soruda görsel içerik var: Üst kısımda üç tane kartezyen koordinat sistemi üzerinde grafik verilmiştir. 1) $y=f(x)$ grafiği, $x=-3$ ve $x=1$ noktalarında x-eksenini kesen bir parabol parçasıdır. 2) $y=g(x)$ grafiği, $x=-3$ ve $y=3$ noktalarından geçen bir doğrudur. 3) $y=h(x)$ grafiği orijinden geçen bir doğrudur. $y=h(x)$ doğrusunun eğimi 1 olarak belirtilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Elif, eşitsizlik sistemleri ile ilgili olan bu AYT sorusunu birlikte adım adım çözelim.
Fonksiyonların Kökleri ve İşaretleri
İlk olarak grafiklere bakarak f, g ve h fonksiyonlarının x eksenini kestiği noktaları, yani köklerini belirleyelim.
g fonksiyonunun grafiğine baktığımızda doğrunun ekseni eksi üç noktasında kestiğini görüyoruz, yani onun da kökü eksi üçtür.
Soru metninde h doğrusunun eğiminin bir olduğu ve grafiğine göre orijinden geçtiği belirtilmiş. Bu yüzden denklemi y eşittir x olur ve kökü sıfırdır.
Şimdi tablo için en sağdaki bölgelerin işaretlerini, yani x sonsuza giderken fonksiyonların aldığı işaretleri inceleyelim.
Grafiklerden, x sonsuza giderken f fonksiyonunun negatif, g ve h fonksiyonlarının ise pozitif değerler aldığını net bir şekilde görebiliriz.
Şimdi tüm bu bilgileri işaret tablosuna yerleştirelim. Köklerimizi küçükten büyüğe doğru eksi üç, sıfır ve bir olarak sırasıyla yerleştiriyoruz.
İşaret Tablosu
Önce A kümesini oluşturan eşitsizliğe, yani f çarpı g büyük eşittir sıfır durumuna bakalım. Bu ifadenin kökleri f'den gelen eksi üç ve bir ile g'den gelen eksi üçtür.
Eksi üç, iki farklı fonksiyondan birer defa karşımıza geldiği için toplamda çift katlı kök durumundadır. Bir ise tek katlı köktür. Eşitlik olduğu için içleri doludur.
A kümesinin en sağdaki bölgesi için işaretimiz, f eksi ve g artı olduğu için eksi çarpı artıdan eksi olacaktır.
Bir tek katlı kök olduğu için işaret değişerek artı olur. Sıfır bu ifadenin kökü olmadığı için işaret değişmeden devam eder.
Eksi üç çift katlı kök olduğu için, kuralımız gereği işaret değişmez ve bölgede artı olarak kalmaya devam eder.
Çözümün devamı Solvi’de
11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
