En Kısa Sürede Ulaşım Problemi

MathematicsOptimization (Derivatives)ZorYKS

Yayınlanma:

Soru

Örnek 199: AK yolunun A noktasında bulunan bir kişi BD yolundaki D noktasına gitmek istiyor. Tarlada $10 \text{ km/s}$, AK ve BD yollarında ise $15 \text{ km/s}$ hızla yol alan bu kişi en kısa sürede D noktasına varabilmesi için $|BC|$ kaç olmalıdır?

Soruda görsel içerik var: İki paralel doğru üzerinde noktalar işaretlenmiştir. Üstteki doğru üzerinde A ve K noktaları, alttaki doğru üzerinde B, C ve D noktaları bulunur. A'dan B'ye dikey bir kesikli çizgi inmektedir, uzunluğu 10 km olarak belirtilmiştir. A'dan C'ye düz bir çizgi çizilmiştir. B ile C arası x, C ile D arası (17-x) mesafesi olarak tanımlanmış, BC'nin tamamı 17 km'dir. A'dan C'ye giden yolun hızı 10 km/s olarak etiketlenmiştir.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Ece, bu soruda A noktasından D noktasına en kısa sürede ulaşmak isteyen birinin izlemesi gereken rotayı türev yardımıyla bulacağız.

En Kısa Süre Problemi

2
Adım 2

Önce durumu modelleyelim. A noktası ile B noktası arasındaki dik uzaklık on kilometre olarak verilmiş.

AB10 km
3
Adım 3

Kişi tarladan C noktasına kadar çapraz bir yol alıp geri kalan yolu BD yolu üzerinden gidecektir. BC arasına x diyelim.

4
Adım 4

BD arası mesafe on yedi kilometre olduğuna göre, CD arası yol on yedi eksi x kilometre olur.

5
Adım 5

Pisagor teoreminden tarlada katedilen AC yolunun uzunluğunu bulalım. Kök içinde on kare artı x kare olacaktır.

Yol ve Hız Denklemleri

$$AC = \sqrt{10^2 + x^2} = \sqrt{100 + x^2}$$
$$v_{tarla} = 10 \text{ km/s}, \quad v_{yol} = 15 \text{ km/s}$$
6
Adım 6

Geçen toplam süreyi veren fonksiyonu yazalım. Süre eşittir yol bölü hızdır.

$$T(x) = \frac{\sqrt{100 + x^2}}{10} + \frac{17 - x}{15}$$
7
Adım 7

En kısa süreyi bulmak için bu fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz.

$$T'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{100 + x^2}}{10} + \frac{17 - x}{15} \right) = 0$$
8
Adım 8

Şimdi türevi hesaplayalım. Kareköklü ifadenin türevi, içinin türevi bölü iki kök kendisidir.

Türev Alma

$$T'(x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{100 + x^2}} - \frac{1}{15} = 0$$
9
Adım 9

Denklemi sadeleştirelim. İkiler birbirini götürür.

Çözümün devamı Solvi’de

9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Optimization (Derivatives)
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Açık Uçlu

Benzer Sorular

Yarıçapı a olan çemberin içine çizilebilen en büyük dikdörtgenin alanı Optimization (Derivatives) · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir