Eigenschaften von Funktionen und trigonometrische Modellierung
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1.6 Für eine Funktion $g$ gilt für $-1 \leq x \leq 4$:
* $g(x) > 1$
* $g'(x) < 0$
* $g''(x) > 0$
Beschreiben Sie für jede der drei genannten Eigenschaften, welche Bedeutung diese für den Verlauf des Schaubildes von $g$ besitzen.
Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Schaubildes. (6 Punkte)
1.7 Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion ist durch $y = 5 \cos(bx) - d$ mit $x, b, d \in \mathbb{R}$ gegeben.
Bestimmen Sie $b$ und $d$ so, dass die Periodenlänge $p = \frac{1}{2}$ beträgt und das Schaubild Schnittpunkte mit der $x$-Achse hat.
Geben Sie den Funktionsterm und den Wertebereich an, die zu Ihrer Wahl von $b$ und $d$ passen. (5 Punkte)
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In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit den Eigenschaften einer Funktion und deren grafischen Darstellung. Schauen wir uns zuerst Aufgabe 1.6 an.
Aufgabe 1.6: Analyse der Eigenschaften
Für eine Funktion g im Intervall von minus eins bis vier sind drei Bedingungen gegeben. Lassen Sie uns die Bedeutung jeder Eigenschaft für den Verlauf des Schaubildes beschreiben.
Gegebene Bedingungen für $-1 \leq x \leq 4$: adn
Die erste Bedingung besagt, dass g von x größer als eins ist. Das bedeutet, dass alle Funktionswerte im Intervall größer als eins sind, also verläuft das Schaubild vollständig oberhalb der Geraden y gleich eins.
1. $g(x) > 1$: Der Graph verläuft oberhalb der Geraden $y=1$.
Zweitens ist die erste Ableitung negativ. Da g Strich von x kleiner als null ist, ist die Funktion im gesamten Intervall streng monoton fallend.
2. $g'(x) < 0$: Die Funktion ist streng monoton fallend.
Die dritte Bedingung, g zwei Strich von x ist größer als null, gibt uns Auskunft über die Krümmung. Eine positive zweite Ableitung bedeutet, dass der Graph linksgekrümmt, also konvex, ist.
3. $g''(x) > 0$: Der Graph ist linksgekrümmt (konvex).
Nun skizzieren wir einen möglichen Verlauf. Wir brauchen eine Kurve, die oberhalb von eins beginnt, nach rechts abfällt und dabei einen Linksbogen macht.
Kommen wir nun zu Aufgabe 1.7. Hier geht es um eine trigonometrische Funktion der Form y gleich fünf mal Kosinus von b mal x, minus d.
Aufgabe 1.7: Trigonometrische Funktion
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