Analysis von Exponential- und Trigonometrischen Funktionen
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Aufgabe 3
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) = -0,5e^{2x} + 2$, $x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
3.1 Zeichnen Sie $K_f$ für $-4 \le x \le 1$ in ein Koordinatensystem. (3 Punkte)
3.2 $K_f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt. (5 Punkte)
3.3 Zeigen Sie, dass sich $K_f$ und die Gerade g mit $g(x) = -x + 1,5$ im Schnittpunkt mit der y-Achse berühren. (4 Punkte)
3.4 Beurteilen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:
(1) Jedes Schaubild einer Stammfunktion F von f besitzt einen Hochpunkt.
(2) Die Ableitung $f'$ von f ist monoton fallend für alle $x \in \mathbb{R}$.
(3) Das Schaubild von $f''$ liegt oberhalb der x-Achse für alle $x \in \mathbb{R}$. (6 Punkte)
3.5 $K_f$ schneidet die Gerade mit der Gleichung $y = x$. Ermitteln Sie die Schnittstelle auf 2 Nachkommastellen genau. (4 Punkte)
Gegeben ist die trigonometrische Funktion h mit $h(x) = 2\cos(\frac{\pi}{3}x) - 1$, $x \in [-4; 8]$. Ihr Schaubild ist $K_h$.
3.6 Geben Sie die Periode und den Wertebereich der Funktion h an. (3 Punkte)
3.7 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion h. (5 Punkte)
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Analysis von Exponential- und Trigonometriefunktionen. Gegeben ist die Funktion f von x gleich minus null-komma-fünf mal e hoch zwei x plus zwei.
Analysis von $f(x) = -0,5e^{2x} + 2$
In Aufgabenteil drei-punkt-zwei berechnen wir den Flächeninhalt, den der Graph mit den Koordinatenachsen einschließt. Dazu bestimmen wir zuerst die Schnittpunkte mit den Achsen.
3.2 Flächeninhalt berechnen
Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt bei x gleich null. f von null ergibt minus null-komma-fünf plus zwei, also eins-komma-fünf.
Für die Nullstelle setzen wir die Funktion gleich null. Wir subtrahieren zwei, teilen durch minus null-komma-fünf und erhalten e hoch zwei x gleich vier.
Durch Anwenden des Logarithmus ergibt sich zwei x gleich ln von vier. Da ln von vier gleich zwei ln von zwei ist, ist x gleich ln von zwei, was ungefähr null-komma-sechs-neun entspricht.
Der Flächeninhalt ergibt sich nun aus dem Integral von null bis ln von zwei über f von x. Die Stammfunktion ist minus null-komma-fünf halbe mal e hoch zwei x plus zwei x.
Setzen wir die Grenzen ein. Bei ln von zwei wird e hoch zwei x zu vier. Bei null wird e hoch null zu eins. Wir erhalten minus eins plus zwei ln von zwei plus null-komma-zwei-fünf.
Zusammengefasst ergibt das einen Flächeninhalt von zwei ln von zwei minus null-komma-sieben-fünf Flächeneinheiten, also etwa null-komma-sechs-drei-sechs.
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