Dairede Alan ve Oran Problemi

MathematicsCircles and AreasZorYKS

Yayınlanma:

Soru

34. Şekilde $C$ noktası $[AB]$ doğru parçasının, $D$ noktası $[AB]$ çaplı yarım çemberin üzerinde olup $m(\widehat{BAD}) = 18^\circ$ dir.

Şekilde sarıya boyalı bölgenin alanı maviye boyalı bölgenin alanının 4 katına eşit olduğuna göre $\frac{|AC|}{|BC|}$ oranı kaçtır?

A) $\frac{3}{2}$ B) $\frac{5}{3}$ C) $\frac{7}{4}$ D) $\frac{7}{5}$ E) $\frac{9}{5}$

Soruda görsel içerik var: Görselde $[AB]$ çaplı bir yarım çember bulunmaktadır. Çemberin içinde, $A$ köşesi başlangıç noktası olan ve $D$ noktasına uzanan bir kiriş çizilmiştir. $m(\widehat{BAD}) = 18^\circ$ olarak verilmiştir. $C$ noktası $[AB]$ çapı üzerindedir. $[CD]$ ve $[BD]$ doğru parçalarıyla sınırlanmış iki boyalı bölge bulunmaktadır: Büyük olan üst bölge sarıya, sağ taraftaki üçgensel benzeri bölge maviye boyanmıştır. Sarı bölge bir yay parçası ve $AD$ kirişi ile sınırlanmış dairesel segmenttir. Mavi bölge ise $C, D$ ve $B$ yay parçası ile sınırlanmış bir bölgedir.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba arkadaşlar. Bu geometri sorusunda, dairede alan ve uzunluk oranları ile ilgili harika bir mantık yürüteceğiz. Soruda sarı ve mavi bölgelerin alanları arasında bir ilişki verilmiş ve bizden uzunluk oranı isteniyor.

Soru Analizi

Boyalı bölgeler arasındaki alan ilişkisini kullanarak $|AC|/|BC|$ oranını bulalım.

2
Adım 2

Önce şekli daha iyi anlamak için bir çizim yapalım. Merkez noktasına O diyelim. Verilen açıyı ve yayları belirleyelim.

Açıları Bulalım

ABDCO
3
Adım 3

Soruda BAD açısı 18 derece verilmiş. Bu bir çevre açı olduğu için, gördüğü BD yayının ölçüsü 18'in iki katı, yani 36 derecedir.

$$m(\widehat{BD}) = 2 \cdot 18^{\circ} = 36^{\circ}$$
4
Adım 4

Merkez O'dan D noktasına bir yarıçap çizelim. Bu durumda merkez açı BOD de 36 derece olur. Geriye kalan AOD açısı ise 180 eksi 36'dan 144 derecedir.

5
Adım 5

Şimdi alanları tanımlayalım. Sarı bölge, AD kirişi ile AD yayı arasındaki 'daire kesmesi'dir. Mavi bölge ise DB yayı, DC ve CB doğru parçalarıyla sınırlı alandır.

Alan Hesabı

OABCSarı (S)Mavi (M)
6
Adım 6

Sarı alanı, AOD daire diliminden AOD üçgenini çıkararak bulabiliriz. Benzer şekilde Mavi alanı, BOD daire diliminden ODC üçgenini çıkararak ifade edebiliriz.

$$S_{sari} = \text{Alan}(AOD_{dilim}) - \text{Alan}(\triangle AOD)$$
$$S_{mavi} = \text{Alan}(BOD_{dilim}) - \text{Alan}(\triangle ODC)$$
7
Adım 7

Soruda Sarı alanın Mavi alanın 4 katı olduğu söylenmiş. Bu harika bir ipucu, çünkü daire dilimlerinin açılarına bakalım: 144 derece, 36 derecenin tam 4 katıdır!

8
Adım 8

Yani AOD diliminin alanı, BOD diliminin alanının 4 katıdır. Eşitliğimizi yazalım ve sadeleştirelim.

$$\text{Alan}(AOD_{dilim}) = 4 \cdot \text{Alan}(BOD_{dilim})$$
9
Adım 9

Eşitliği kuralım: Sarı = 4 * Mavi. Formülleri yerine yazınca, daire dilimi alanlarının birbirini götürdüğünü göreceksiniz.

Denklem Çözümü

$$\underbrace{\text{Dilim}(144^{\circ})}_{4D} - \text{Alan}(\triangle AOD) = 4 \cdot [ \underbrace{\text{Dilim}(36^{\circ})}_{D} - \text{Alan}(\triangle ODC) ]$$

Çözümün devamı Solvi’de

9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Circles and Areas
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Dairede Alan ve Uzunluk Oranı Circles and Areas · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir