Çember ve Parabolün Teğetliği

MathematicsAnalytic Geometry and DerivativesZorYKS

Yayınlanma:

Soru

6. Merkezi y ekseni üzerinde ve yarıçapı 3 br olan çember $y = \frac{x^2}{2}$ parabolüne teğet olduğuna göre, çemberin merkezinin ordinatı kaçtır? A) $\frac{7}{2}$ B) $2\sqrt{3}$ C) 4 D) $3\sqrt{2}$ E) 5

Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde, tepe noktası orijin (0,0) olan yukarı yönlü bir $y = \frac{x^2}{2}$ parabolü ve merkezi y ekseni üzerinde bulunan bir çember verilmiştir. Çemberin yarıçapı 3 birimdir ve parabolün sağ koluna bir noktada teğettir. Merkezin koordinatları ile teğet noktası arasında bir yarıçap çizgisi çizilmiştir.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Selam Frexty. Merkezi y ekseni üzerinde olan bir çember ile bir parabolün teğet olma durumunu inceleyeceğimiz harika bir türev sorusuyla karşı karşıyayız.

Parabol ve Çember Teğetliği

2
Adım 2

Kullanacağımız bilgileri listeleyelim. İlk olarak parabolün denklemi y eşittir x kare bölü iki olarak verilmiş.

$$y = \frac{x^2}{2}$$
3
Adım 3

Çemberin merkezi y ekseni üzerinde olduğuna göre koordinatlarını sıfıra k diyelim. Yarıçapı ise üç birim olarak biliyoruz.

$$M(0, k), \quad r = 3$$
4
Adım 4

Çemberin denklemini yazarsak, x eksi sıfırın karesi artı y eksi k'nın karesi eşittir dokuz olur.

$$x^2 + (y - k)^2 = 9$$
5
Adım 5

Teğet noktasını koordinat düzleminde gösterelim. Bu noktaya A noktası diyelim ve x değerine a verelim.

Teğet Noktası Analizi

MA(a, b)
6
Adım 6

A noktası parabol üzerinde olduğu için, ordinatı a kare bölü iki olacaktır.

$$A\left(a, \frac{a^2}{2}\right)$$
7
Adım 7

Şimdi kilit noktaya gelelim. Teğet noktasında çemberin merkezinden geçen yarıçap, teğet doğrusuna diktir. Ayrıca bu doğru parabolün de teğetidir.

8
Adım 8

Parabolün x eşittir a noktasındaki teğet eğimini bulmak için türev alalım. y üssü eşittir x olur.

$$y' = x \implies m_T = a$$
9
Adım 9

Yarıçap doğrusu teğete dik olduğu için, eğimler çarpımı eksi bir olmalıdır. Dolayısıyla merkez ile A noktasından geçen doğrunun eğimi eksi bir bölü a'dır.

$$m_{MA} = -\frac{1}{a}$$
10
Adım 10

Eğim formülünü kullanarak merkezi yani k değerini bulmaya çalışalım.

Denklem Kurma

$$\frac{\frac{a^2}{2} - k}{a - 0} = -\frac{1}{a}$$

Çözümün devamı Solvi’de

9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Analytic Geometry and Derivatives
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Parabolün Doğruya En Yakın Noktası Analytic Geometry and Derivatives · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir