Calcul numérique d'aire par la méthode des rectangles

Exercice 2 (5 points) Le calcul de la racine carrée d'un réel positif X par la méthode de Newton est définie par la suite U comme suit : $$U \begin{cases} U_0 = X \\ U_{n+1} = \frac{U_n + \frac{X}{U_n}}{2} \end{cases}$$ Cette suite converge vers $\sqrt{X}$. Le calcul est arrêté lorsque $$\left| X - U_n^2 \right| < 10^{-4}$$ Partie 1 : Ecrire l'algorithme d'une fonction nommée Racine qui permet de calculer une valeur approchée de $\sqrt{X}$ à $10^{-4}$ près. Sachant que X est un réel positif donné en paramètre. Partie 2 : On donne la fonction f suivante : $f(x) = \sqrt{x} \cdot x + 1$ définie dans l'intervalle [0,3]. On se propose de calculer l'aire de cette fonction par la méthode de rectangle gauche en utilisant la fonction Racine élaborée dans la partie 1 selon le principe suivant : • Diviser l'intervalle [0,3] en N sous intervalles avec N un entier donnée (10≤N≤100). • Sauvegarder dans un fichier typé (intitulé «C:\Rectangle.dat») N enregistrements, dont chacun contient : - L'abscisse X de chaque sous intervalle. - La surface S de chaque rectangle. • Calculer l'aire résultante de la fonction f en faisant la somme des aires des rectangles déjà calculées et stockées dans le fichier «C:\Rectangle.dat». Pour cela, on vous donne l'algorithme du programme principal suivant : Algorithme Aire Début Répéter Ecrire ("N=") Lire (N) Jusqu'à 10≤N≤100 REMPLIR(F, N) Ecrire ("Air=", SOMME(F, N)) Fin Exemple : Pour N=10 on obtient le fichier suivant : F avec X0=0 et S0=surface du premier rectangle. Travail demandé : a) Dresser le T.D.N.T et le T.D.O.G correspondants au programme principal. b) En utilisant la fonction Racine de la partie (1), écrire l'algorithme de la procédure REMPLIR permettant de remplir le fichier d'enregistrement «C:\Rectangle.dat» comme décrit précédemment. c) Ecrire l'algorithme de la fonction SOMME qui permet de calculer à partir du fichier «C:\Rectangle.dat» l'aire résultante de la fonction f.

This question includes visual content: L'image contient deux éléments visuels. D'abord, un graphe montrant une fonction croissante dans l'intervalle [0, 3] avec une décomposition en rectangles sous la courbe. Ensuite, un schéma montrant une structure de données séquentielle (fichier) de nom 'F' contenant des couples (X_i, S_i) pour i allant de 0 à 9, illustrant le stockage des données pour N=10.