Boyalı Bölgenin Alanı Hesabı

Merhaba babanen, bu güzel fonksiyon grafikleri ve alan sorusunu adım adım çözelim.

Grafikteki sınırları doğru tespit edebilmek için önce mavi parabol ve kırmızı doğrunun nerede kesiştiğini bulmalıyız. Denklemlerini birbirine eşitleyelim.

Tüm terimleri sol tarafa topladığımızda ikinci dereceden bir denklem elde ediyoruz.

Çarpımı eksi altı, toplamı eksi bir olan sayıları bularak çarpanlarına ayırıyoruz.

Böylece kesişim noktalarının apsislerini, yani x değerlerini eksi iki ve üç olarak buluruz.

Bu noktaları daha rahat görebilmek için kendimiz sadeleşmiş bir grafik çizelim.

Bulduğumuz x değerlerini parabol veya doğru denkleminde yerine yazarsak koordinatları eksi ikiye dört ve üçe dokuz olur. Grafikte bunları işaretleyelim.

Soruda d doğrusunun orijinden ve birinci bölgedeki kesişim noktasından, yani üçe dokuz noktasından geçtiği bilgisi verilmiş.

Eğimi bildiğimize göre orijinden geçen bu yeşil doğrunun denklemini y eşittir üç x olarak ifade edebiliriz.

Artık alanları tek tek hesaplayabiliriz. Sol taraftaki A bir bölgesine bakalım.

Bu bölge eksi altıdan eksi ikiye kadar doğrunun altında, eksi ikiden sıfıra kadar ise parabolün altında kalıyor.

İlk kısım dik kenarları dörder birim olan bir dik üçgen oluşturur, yani alanı hesaplamak için entegral almaya gerek kalmadan sekiz olduğunu görebiliriz. İkinci kısım ise x küp bölü üç integralinin sınır değerleridir.

Sınırları yerine koyduğumuzda alt ve üst sınırların değerlerini elde ederiz.