Bölünebilme Kuralları ve Basamak Kavramı

Merhaba! Bu soruda A ve B sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere; AA, AB ve BA iki basamaklı sayılarının bölünme kurallarını inceleyeceğiz.

Soruda verilen bilgilere göre AA, AB ve BA sayılarından her biri, 3, 4 ve 5 rakamlarından 'sadece birine' tam bölünüyor. Üstelik her sayı farklı bir rakama bölünüyor.

İlk olarak AA sayısını inceleyelim. AA, on bir katı olan bir sayıdır. Yani on bir carpi A şeklindedir. A bir rakam olduğuna göre AA sayısı 11, 22, 33 gibi sayılar olabilir.

Eğer AA sayısı 5 ile tam bölünüyor olsaydı, son rakamı 0 veya 5 olmalıydı. A sıfırdan farklı dendiği için A 5 olmalıdır. Bu durumda AA 55 olur.

Ancak AA, 55 olursa 3 veya 4'e bölünmez. Bu bir ihtimaldir. Diğer ihtimallere bakalım. Eğer AA, 3 ile bölünseydi rakamlar toplamı 3'ün katı olmalıydı. Yani iki A 3'ün katı olmalı, buradan A 3, 6 veya 9 olabilir.

Eğer AA, 4 ile bölünseydi A sadece 4 veya 8 olabilirdi. Çünkü 44 ve 88, 4'e tam bölünür. Şimdi diğer sayılara geçip hangisinin 5'e bölündüğünü bulalım.

AB veya BA sayılarından biri 5 ile tam bölünmelidir. Bu durumda ya B eşittir 5 ya da A eşittir 5 olmalıdır. Diyelim ki A eşittir 5 olsun.

Görüyoruz ki AA yani 55 sayısı sadece 5 ile tam bölünür. Sorunun şartı sağlandı. Şimdi AB ve BA sayılarının 3 ve 4 ile bölünme durumlarına bakalım.

A 5 ise sayılarımız 5B ve B5 olur. B5 sayısı 4'e bölünemez çünkü tek sayıdır. Öyleyse B5 sayısı 3 ile bölünmelidir.

B5'in 3'e bölünmesi için B artı 5'in 3'ün katı olması gerekir. B buradan 1, 4 veya 7 olabilir.

Geriye kalan 5B sayısı ise 4 ile bölünmelidir. B için bulduğumuz değerleri deneyelim: 51 ve 57 bölünmez, fakat 52 ve 56 bölünür. Ancak elimizdeki listede sadece 4 var.

B yerine 2 veya 6 yazamayız çünkü B rakamı 1, 4, 7 kümesinde olmalıydı. Bir hata yaptık mı? Bakalım. 52, 4'e tam bölünür ama B değeri 3'e bölünme kuralına uymalıydı. 4 değerini 5B'de denersek 54 olur, o da 4'e bölünmez.

Şimdi B eşittir 5 olsun. O halde AB sayısı A5, BA sayısı ise 5A olur. AA sayısı 11'in katıydı.

A5 sayısı bir tek sayıdır, bu yüzden 4'e bölünemez. O zaman A5 sayısı 5'e bölünmelidir. Bu durumda A rakamı 5 olurdu ama A ve B farklı rakamlar dendiği için A 5 olamaz.