Bire bir ve örten fonksiyon sorusu
Yayınlanma:
9. a, b ve c birer gerçek sayı olmak üzere gerçek sayılar kümesi üzerinde $$f(x) = x^3 + ax + b$$ bire bir ve örten fonksiyonu veriliyor. f fonksiyonu ile ilgili $$\lim_{x \to a} \frac{(fof)(x) - x}{x - a} = c$$ $$f(-1) = -3$$ eşitlikleri veriliyor. Buna göre f(2) kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Ece, fonksiyonlar ve limit içeren bu AYT tarzı soruyu birlikte çözelim.
Fonksiyon ve Limit Analizi
Öncelikle bize verilen f fonksiyonunu ve bire bir örten olduğu bilgisini not edelim.
Üçüncü dereceden bir fonksiyonun tüm gerçel sayılarda bire bir ve örten olması için fonksiyonun daima artan veya daima azalan olması gerekir. Baş katsayı pozitif olduğu için fonksiyonumuz daima artan olmalıdır.
f\ daima\ artandır\ \implies f'(x) \geq 0
Türevi alalım. f türev x, üç x kare artı a'ya eşittir.
Bu ifadenin her x için sıfırdan büyük veya eşit olması ancak a'nın sıfırdan büyük veya eşit olmasıyla mümkündür.
Şimdi bize verilen limit ifadesine odaklanalım. x, a'ya giderken payda sıfır oluyor.
Limit Analizi
Limitin bir gerçel sayıya eşit olması için 0 bölü 0 belirsizliği olmalıdır. Yani pay kısmı da x eşittir a için sıfır olmalıdır.
Buradan f bileşke f a, a'ya eşittir sonucuna varırız. f artan bir fonksiyon olduğu için f f a eşittir a olması ancak f a eşittir a durumu ile sağlanabilir.
Şimdi limit değerini bulmak için L'Hopital kuralını uygulayalım. Payın ve paydanın türevini alıyoruz.
x yerine a yazarsak, f türev f a çarpı f türev a eksi 1 eşittir c olur. f a, a'ya eşit olduğu için ifade sadeleşir.
Böylece f türev a'nın karesi eksi 1 eşittir c sonucuna ulaşırız.
Çözümün devamı Solvi’de
10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
