Bestimmung eines x-Wertes für eine Funktionsungleichung
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$d(x) = h(x) - f(x), x \in \mathbb{R}$,
$h(x) = 0,5e^{0,5x} - x + 1,5$ and $f(x) = 2\cos(\frac{\pi}{2}x) - 1$
**3.6** Bestimmen Sie einen x-Wert so, dass der Funktionswert der Funktion d mit $d(x) = h(x) - f(x), x \in \mathbb{R}$ kleiner als 0,2 ist. **(3 Punkte)**
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe suchen wir einen x-Wert, für den der Funktionswert der Differenzfunktion d von x kleiner als null komma zwei ist.
Bestimmung von x für d(x) < 0,2
Zuerst stellen wir die Funktionsgleichung für d von x auf, indem wir f von x von h von x subtrahieren.
Eingesetzt ergibt das null komma fünf mal e hoch null komma fünf x minus x plus eins komma fünf, minus in Klammern zwei mal cosinus von pi halbe x minus eins.
Wenn wir das Minuszeichen vor der Klammer berücksichtigen, erhalten wir plus eins am Ende.
Zusammengefasst lautet die Differenzfunktion d von x also null komma fünf mal e hoch null komma fünf x minus x minus zwei mal cosinus von pi halbe x plus zwei komma fünf.
Wir suchen nun einen x-Wert, so dass d von x kleiner als null komma zwei ist.
Ziel: $d(x) < 0,2$
Da es sich um eine transzendente Gleichung handelt, nutzen wir am besten graphische Mittel oder probieren Werte aus. Schauen wir uns den Wert bei x gleich null an.
E hoch null ist eins und der Cosinus von null ist auch eins.
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