Aritmetik Dizi ve Permütasyon Sorusu

Selam Aysel, permütasyon ve aritmetik dizileri birleştiren bu güzel soruyu birlikte çözelim.

Öncelikle bize verilenleri listeleyelim. A en dizisi, ortak farkı iki olan bir aritmetik dizidir. Yani her terim bir öncekinden iki fazladır.

B en dizisi ise permütasyon yardımıyla tanımlanmış. Be en, a en artı bir elemanlı bir kümenin a en elemanlı permütasyonlarının sayısı olarak verilmiş.

Şimdi permütasyon formülünü hatırlayalım. Pe n virgül r, n faktöriyel bölü n eksi r faktöriyeldir.

Bu formülü b en tanımına uygulayalım.

Paydadaki a en artı bir eksi a en ifadesi, aritmetik dizinin ortak farkına eşittir. Soruda bu farkın iki olduğu verilmişti.

Yani b en dizisinin genel terimi olan b n, a n artı bir faktöriyel bölü iki olur.

Soruda bize b beşin, yüz elli altı çarpı b dörte eşit olduğu söylenmiş. Bu eşitliği kullanalım.

B beş değerini az önce bulduğumuz genel formülde yerine yazarsak, n yerine beş koyduğumuzda a altı faktöriyel bölü iki elde ederiz.

Aynı şekilde b dört değeri için n yerine dört koyduğumuzda, a beş faktöriyel bölü iki sonucuna ulaşırız.

Bulduğumuz bu değerleri ana denklemde yerlerine koyalım.

Eşitliğin her iki tarafındaki paydada bulunan ikileri sadeleştirelim.