Analysis von Funktionsgraphen und Extremwertprobleme
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 3x^5 - 160x^3 + 4000x$, $x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_f$
4.3 Zeigen Sie durch eine geeignete Rechnung: $K_f$ besitzt weder Hoch- noch Tiefpunkte.
Bestimmen Sie die Bereiche, in denen $K_f$ rechtsgekrümmt ist. (8 Punkte)
$K_g$ ist das Schaubild der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{4}{3}x^2$, $x \in \mathbb{R}$.
Für $0 < u < 6$ liegen die Punkte $A(-u|g(-u))$ und $B(u|g(u))$ auf $K_g$ und die Punkte
$C(u|48)$ und $D(-u|48)$ auf der Geraden mit der Gleichung $y = 48$.
Die Punkte $ABCD$ bilden ein zur $y$-Achse symmetrisches Rechteck.
4.4 Zeichnen Sie $K_g$ und die Gerade $-6 \le x \le 6$ sowie das Rechteck $ABCD$ für $u = 3$. (5 Punkte)
4.5 Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$.
(5 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit den Funktionen f und g. Wir werden zeigen, dass die Funktion f keine Extrempunkte hat, Krümmungsbereiche bestimmen und schließlich ein Flächeninhaltsproblem für ein Rechteck unter der Parabel g lösen.
Analysis von $f(x)$ und Extremwertaufgabe
Beginnen wir mit Aufgabenteil vier punkt drei. Um zu zeigen, dass die Funktion f keine Hoch- oder Tiefpunkte besitzt, müssen wir ihre erste Ableitung untersuchen.
Wir leiten f nach x ab. Drei mal fünf ergibt fünfzehn, einhundertsechzig mal drei ergibt vierhundertachtzig, und die Ableitung von viertausend x ist viertausend.
Für Extrempunkte muss die erste Ableitung null sein. Wir setzen diesen Term also gleich null. Um die Gleichung zu vereinfachen, teilen wir durch fünfzehn.
Wir erhalten x hoch vier minus zweiunddreißig x quadrat plus zweihundertsechsundsechzig komma periode sechs gleich null.
Mit der Substitution z gleich x quadrat wenden wir die Mitternachtsformel an. Die Diskriminante ist zweiunddreißig zum Quadrat minus vier mal eins mal achthundert Drittel.
Eintausendvierundzwanzig sind dreitausendzweiundsiebzig Drittel. Wenn wir zweitausendzweihundert abziehen, bleibt eine negative Diskriminante übrig. Da die Diskriminante kleiner als null ist, hat die Gleichung keine reelle Lösung.
Somit hat f keine waagerechten Tangenten und damit keine Hoch- oder Tiefpunkte. Das wäre gezeigt.
$ ightarrow$ Keine Nullstellen für $f'(x) ightarrow$ Keine Extrempunkte.
Als nächstes bestimmen wir die Rechtskrümmung. Dazu benötigen wir die zweite Ableitung.
Rechtskrümmung von $K_f$
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