Analysis von Funktionen dritten Grades: Tangenten und Extremwertaufgaben
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Aufgabe 4
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit
$f(x) = \frac{1}{5}x^3 + \frac{3}{4}x^2 - \frac{3}{2}x, x \in \mathbb{R}$
und ihr Schaubild $K_f$.
4.1 Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an $K_f$ im Punkt $P(0|f(0))$.
Im Punkt $B$ auf $K_f$ besitzt die Tangente dieselbe Steigung wie in $P$.
Bestimmen Sie die Koordinaten von $B$. (7 Punkte)
4.2 Die Gerade $x = u$ schneidet $K_f$ für $-5 \le u \le 0$ im Punkt $Q$ und die x-Achse im Punkt $R$. Der Koordinatenursprung $O$ bildet mit den Punkten $Q$ und $R$ ein Dreieck.
Zeichnen Sie in das obige Schaubild das Dreieck $OQR$ für $u = -4$ ein.
Berechnen Sie, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. (8 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein kartesisches Koordinatensystem zeigt den Graphen $K_f$ einer Funktion dritten Grades $f(x)$. Die x-Achse reicht von -6 bis 2, die y-Achse von -1 bis 6. Der Graph schneidet die x-Achse bei ca. -5, 0 und einem weiteren positiven Wert. Er hat ein lokales Maximum bei etwa $x = -3$ mit $y \approx 6$ und ein lokales Minimum bei etwa $x = 1$ mit $y \approx -0.5$. Das Gitter ist in Einzelschritte unterteilt.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Wir beginnen mit der Aufgabe vier Punkt eins. Gegeben ist die Funktion f von x.
Aufgabe 4.1: Tangente an P
Zuerst bestimmen wir die y-Koordinate des Punktes P, indem wir x gleich Null in die Funktion einsetzen. Wir erhalten Null.
Um die Tangentengleichung aufzustellen, benötigen wir die Steigung im Punkt P. Dafür bilden wir die erste Ableitung der Funktion f.
Die Steigung m erhalten wir durch Einsetzen von x gleich Null in die Ableitungsfunktion. Das ergibt minus drei Halbe.
Da die Tangente durch den Ursprung verläuft, ist ihr y-Achsenabschnitt null. Die Tangentengleichung lautet somit y gleich minus drei halbe x.
Im zweiten Teil der Aufgabe suchen wir die Koordinaten eines Punktes B auf dem Graphen, in dem die Tangente dieselbe Steigung besitzt.
Aufgabe 4.1: Koordinaten von B
Wir setzen unsere Ableitungsfunktion mit der Steigung minus drei Halbe gleich.
Wenn wir auf beiden Seiten plus drei Halbe rechnen, vereinfacht sich die Gleichung deutlich.
Wir klammern x aus, um den Satz vom Nullprodukt anwenden zu können.
Die erste Lösung ist x gleich Null. Das entspricht unserem bekannten Ursprungspunkt P. Die zweite Lösung finden wir, indem wir den Klammerausdruck gleich Null setzen.
Wir formen nach x um und erhalten x gleich minus zwei Komma fünf.
Um die zugehörige y-Koordinate zu finden, setzen wir minus zwei Komma fünf in die ursprüngliche Funktion f ein.
Rechnen wir die Terme einzeln aus, ergibt das minus drei Komma eins zwei fünf, plus vier Komma sechs acht sieben fünf, plus drei Komma sieben fünf.
Der gesuchte Punkt B hat also die Koordinaten minus zwei Komma fünf, und fünf Komma drei eins zwei fünf.
Kommen wir zu Aufgabe vier Punkt zwei. Wir sollen das Dreieck O, Q, R für u gleich minus vier in das Schaubild einzeichnen.
Aufgabe 4.2: Skizze des Dreiecks
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