Analysis einer Exponentialfunktion: Asymptoten, Graphen und Flächeninhalt
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 0,5e^{-0,5x} - 2, x \in \mathbb{R}$.
Ihr Schaubild ist $K_f$.
3.1 Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptote von $K_f$.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-5 \le x \le 6$.
Wie müsste $K_f$ verschoben werden, sodass das verschobene Schaubild die Asymptote mit der Gleichung $y = 1$ hat? (5 Punkte)
3.2 $K_f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
Bestimmen Sie deren Inhalt. (5 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Exponentialfunktion f von x gleich null komma fünf mal e hoch minus null komma fünf x minus zwei. Zuerst bestimmen wir die Asymptote und zeichnen den Graphen.
Aufgabe 3.1 & 3.2
Für x gegen unendlich nähert sich der Term e hoch minus null komma fünf x dem Wert Null an. Übrig bleibt die Konstante minus zwei.
Daraus folgt, dass die waagerechte Asymptote die Gleichung y gleich minus zwei hat.
Um den Graphen im Bereich von minus fünf bis sechs zu zeichnen, berechnen wir einige Stützpunkte, wie zum Beispiel den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Graph von K_f
| x | f(x) |
|---|---|
| -2 | 0{,}5e^1 - 2 \approx -0{,}64 |
| 0 | 0{,}5 - 2 = -1{,}5 |
| 2 | 0{,}5e^{-1} - 2 \approx -1{,}82 |
| 4 | 0{,}5e^{-2} - 2 \approx -1{,}93 |
Hier sehen wir das Schaubild K f. Der Graph nähert sich von oben der Asymptote bei y gleich minus zwei an.
Nun zur Verschiebung: Die aktuelle Asymptote liegt bei y gleich minus zwei. Wir wollen sie auf y gleich eins verschieben.
Dazu müssen wir den Graphen um genau drei Einheiten in positive y-Richtung, also nach oben, verschieben.
In Aufgabenteil drei punkt zwei bestimmen wir den Inhalt der Fläche, die K f mit den Koordinatenachsen einschließt. Zuerst brauchen wir die Nullstelle.
3.2 Flächeninhalt
Wir addieren zwei und multiplizieren mit zwei. Dann erhalten wir e hoch minus null komma fünf x gleich vier.
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