Analysis Aufgaben: Gleichungen, Polynomfunktionen und Ableitungen
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Aufgabe 1 (Variante 1) (30 Punkte)
1.1 Lösen Sie die Gleichung $x^4 - 2x^2 - 8 = 0, x \in \mathbb{R}$ (5 Punkte)
1.2 Das Schaubild einer Polynomfunktion dritten Grades berührt die x-Achse an der Stelle $x = -1$ und schneidet beide Koordinatenachsen jeweils bei 4. Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm. (4 Punkte)
1.3 Gegeben ist der Ausschnitt aus dem Schaubild einer Ableitungsfunktion $f'$. Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a) Das Schaubild der zugehörigen Funktion f besitzt einen Hochpunkt.
b) Das Schaubild der zugehörigen Funktion f ist rechts gekrümmt für $x \le 0$.
c) $f'(0) > 0$
(6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt einen Graphen der Ableitungsfunktion $f'$ (beschriftet als $K_{f'}$) in einem kartesischen Koordinatensystem. Der Graph ist eine Kurve, die die x-Achse an zwei Stellen schneidet: einmal im negativen Bereich und einmal berührt sie die positive x-Achse als lokales Minimum. Der y-Achsenabschnitt ist positiv ($f'(0) > 0$). Es gibt ein lokales Maximum im Bereich $x < 0$ und ein lokales Minimum auf der positiven x-Achse.
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe lösen wir drei Teilaufgaben zur Analysis. Wir beginnen mit Aufgabe eins punkt eins, dem Lösen einer biquadratischen Gleichung.
Aufgabe 1.1
Lösen der biquadratischen Gleichung
Wir haben die Gleichung x hoch vier minus zwei x quadrat minus acht gleich null gegeben.
Um diese Gleichung zu lösen, führen wir eine Substitution durch. Wir setzen u gleich x quadrat.
Dadurch erhalten wir eine quadratische Gleichung: u quadrat minus zwei u minus acht gleich null.
Mit der Mitternachtsformel oder dem Satz von Vieta finden wir die Lösungen für u. Hier sind es u eins gleich vier und u zwei gleich minus zwei.
Nun führen wir die Rücksubstitution durch. Für u eins gleich vier erhalten wir x quadrat gleich vier, was zu plus oder minus zwei führt.
Die zweite Lösung u zwei gleich minus zwei führt auf x quadrat gleich minus zwei. Da wir eine Lösung im reellen Bereich suchen, ist dies nicht möglich.
Die Lösungsmenge besteht also nur aus zwei und minus zwei.
Kommen wir zu Aufgabe eins punkt zwei. Wir suchen einen Funktionsterm für eine Polynomfunktion dritten Grades.
Aufgabe 1.2
Bestimmung eines Funktionsterms
Wir wissen: Der Graph berührt die x-Achse bei minus eins. Das bedeutet, wir haben dort eine doppelte Nullstelle. Außerdem schneidet er die Achsen bei vier.
Eigenschaften:
- Berührpunkt bei $x = -1$
- Schnittpunkt y-Achse bei $y = 4$
- Schnittpunkt x-Achse bei $x = 4$
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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