Analyse der Funktion h(x)

Question

3.4 In welchem Zeitraum...

Die Funktion $h$ ist gegeben durch $h(x) = \frac{1}{2}x + 3 - e^{0,5x}, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild heißt $K_h$.

3.5 Geben Sie die Gleichung der Asymptote von $K_h$ an.

Untersuchen Sie $K_h$ auf Extrempunkte.

Zeichnen Sie $K_h$ für $-8 \leq x \leq 4$. (10 Punkte)

3.6 Zeigen Sie, dass die Steigung von $K_h$ in allen Punkten kleiner als $0,5$ ist.
(4 Punkte)

Solvi · Accepted Answer

In dieser Aufgabe untersuchen wir die Funktion h von x gleich ein halb x plus drei minus e hoch null komma fünf x. Wir sollen die Asymptote bestimmen, die Extrempunkte finden und die Steigung analysieren. Kommen wir zu Aufgabenteil drei punkt fünf. Zuerst bestimmen wir die Gleichung der Asymptote. Wir betrachten das Verhalten für x gegen minus unendlich. Wenn x gegen minus unendlich geht, nähert sich der Exponentialterm e hoch null komma fünf x dem Wert Null an. Das bedeutet, dass sich der Graph der Geraden ein halb x plus drei annähert. Die Gleichung der schiefen Asymptote lautet also y gleich ein halb x plus drei. Als Nächstes untersuchen wir die Kurve auf Extrempunkte. Dazu benötigen wir die erste Ableitung der Funktion. Die Ableitung von ein halb x ist ein halb. Der konstante Term drei fällt weg. Für den Exponentialterm nutzen wir die Kettenregel: Die Ableitung von e hoch null komma fünf x ist null komma fünf mal e hoch null komma fünf x. Für einen Extrempunkt muss die erste Ableitung gleich Null sein. Wir setzen den Ausdruck also Null. Wir addieren null komma fünf mal e hoch null komma fünf x auf beide Seiten.

Analyse der Funktion h(x)

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