a, b ve c Tam Sayı Eşitsizlik Sorusu

Merhaba Serhan, bu videoda sayı kümeleri ve tam sayılarla ilgili güzel bir sınav sorusunu birlikte çözeceğiz.

Sorumuzda bize üç adet eşitsizlik ve iki adet denklem verilmiş. a'nın en küçük değeri için a artı b artı c toplamını bulmamız isteniyor.

İlk olarak değişkenlerimizin işaretlerini belirleyelim. Bunun için birinci eşitsizlikle başlıyoruz.

Burada c üzeri sekiz terimine dikkat edelim. Bir tam sayının çift kuvveti, sıfır hariç her zaman pozitiftir. Çarpımın sıfırdan büyük olması için c'nin sıfır olamayacağını biliyoruz. Dolayısıyla c üzeri sekiz kesinlikle pozitiftir.

c üzeri sekiz pozitif olduğu için, geriye kalan a küp çarpı b üzeri beş ifadesinin de sıfırdan büyük olması gerekir.

Tek kuvvetler tabanın işaretini değiştirmediği için, a ve b'nin çarpımı pozitif olmalıdır. Bu da a ile b'nin aynı işaretli olduğunu gösterir.

Şimdi de ikinci eşitsizliği ele alalım.

Burada da benzer şekilde, b'nin karesi her zaman pozitiftir. Bu terimi sadeleştirebiliriz.

Geriye kalan a üzeri beş çarpı c küp ifadesinin sıfırdan büyük olması gerekir.

Tek kuvvetler işareti koruduğu için, a ve c sayılarının çarpımı da pozitif olmalıdır. Bu bize a ile c'nin de aynı işaretli olduğunu söyler.

Bulduğumuz bu iki önemli sonucu birleştirerek genel bir işaret analizi yapalım.

Bu iki koşuldan, a, b ve c sayılarının üçünün birden aynı işaretli olması gerektiği sonucuna ulaşıyoruz. Yani ya hepsi pozitif ya da hepsi negatiftir.

Şimdi üçüncü eşitsizliği kullanarak bu durumlardan hangisinin doğru olduğunu bulalım.