3. Dereceden Polinom Problemi

Selam semih, haydi bu zorli polinom sorusunu birlikte cozelim.

Oncelikle f x polinomunun baskatsayisi bir olan ucuncu dereceden bir polinom oldugunu biliyoruz. Ayrica kritik bir esitsizlik verilmis: f k eksi bir carpi f k arti bir, hicbir k tam sayisi icin sifirdan kucuk degilmis.

Bu ifade bize k eksi bir ve k arti bir gibi aralarinda iki fark olan tam sayilarda f fonksiyonunun isaret degistirmedigini soyler. Ucuncu dereceden bir polinomun koklerinin durumu bu sarti saglamali.

Eger fonksiyonun tek bir reel koku varsa ve bu kok bir tam sayiysa, fonksiyonun isareti bu noktada degisir ancak komsularinda ayni kalabilir. Fonksiyonun formunu x eksi m nin kupu olarak dusunelim.

Verilen turev degerine bakalim. f nin turevinde eksi bir bolu dort, eksi bir bolu dorde esitmis. Bu bilgiyi kullanalim.

Ancak bir sayinin karesi carpi uc negatif olamaz. Demek ki polinomumuzun formu x eksi m nin kupu seklinde degilmis.

Yeniden dusunelim. Esitsizligin saglanmasi icin f x in bir tam sayi koku olmali ve bu kok cift katli gibi davranmali ya da fonksiyon artan olmali. f nin turevinin bir noktada negatif oldugu verilmis, yani fonksiyon her yerde artan degil.

f k eksi bir ve f k arti bir carpiinin asla negatif olmamasi icin tum tam sayi klerin f k degerlerinin isareti ayni olmali veya sifir olmali. Bu durum genellikle fonksiyonun bir tam sayi koki oldugunda ve tam sayilarda isaret degisimi olmadiginda gorusur. En basit haliyle f x esittir x carpi x kare arti b seklinde olabilir.

Soru bilgilerinden turevi kontrol edelim. f x esittir x kup arti b x olsun. Turevi uc x kare arti b olacaktir.

Turevde eksi bir bolu dordu yerine yazalim ve eksi bir bolu dorde esitleyelim.

Simdi kontrol edelim: f nin turevinde bir bolu dort, sifirdan kucuk mu?

Evet, bu sarti sagliyor. Simdi en basta verilen tam sayi sartini kontrol edelim. f x esittir x carpi, parantez icinde x kare eksi yedi bolu on alti.

Bu fonksiyonun kokleri sifir ve arti eksi kok yedi bolu dorttur. Kok yedi bolu dort yaklasik sifir virgul altmis altidir. Yani kokler eksi sifir virgul altmis alti, sifir ve sifir virgul altmis alti arasindadir.

Tam sayilara bakalim. x esittir sifirda f sifirdir. Sifirdan buyuk tam sayilarda, yani bir, iki, uc gibi degerlerde f x pozitiftir. Sifirdan kucuk tam sayilarda ise f x negatiftir.

Demek ki f x tam olarak tek fonksiyon degil, bir kayma olmali. Eger x yerine x eksi m yazarsak ve m bir tam sayi olursa esitsizlik bozulur. m bir bucuk gibi bir deger olmali ki tam sayilar tam ortada kalsin.

Aslinda en kritik durum f k nin ardisik tam sayilarda sifir olmasidir. Eger f eksi bir, f sifir ve f bir noktalarinin hepsi sifir olsaydi?

Turevi kontrol edelim: f nin turevi uc x kare eksi birdir. Turevde eksi bir bolu dort yazarsak sonuc eksi on uc bolu on alti cikar. Soru ise eksi dort bolu on alti istiyor. Demek ki katsayi dogru degil.