Étude d'un filtre électrique passif
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Exercice 2 ( 5 points )
A l'entrée du filtre (F) schématisé par la figure 7, on applique une tension sinusoïdale $u_E(t)$ de valeur maximale $U_{Emax}$ constante, et de fréquence $N$ réglable : $u_E(t) = U_{Emax} \sin(2\pi Nt)$. On désigne par $u_S(t)$, la tension de sortie du filtre : $u_S(t) = U_{Smax} \sin(2\pi Nt + \varphi)$.
A- 1) a- Définir un filtre électrique.
b- Indiquer la différence entre un filtre passe-bas et un filtre passe-haut.
2) La transmittance $T$ du filtre ainsi réalisé est : $T = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{(2\pi NRC)^2}}}$
a- Montrer que le gain $G$ du filtre s'écrit : $G = -10 \log(1 + \frac{1}{(2\pi NRC)^2})$. On rappelle que $G = 20 \log T$.
b- Montrer que la valeur maximale $G_o$ du gain du filtre est nulle ($G_o = 0 \text{ dB}$).
3) a- Quelle condition doit satisfaire le gain $G$ pour que le filtre soit passant ?
b- Montrer que la fréquence de coupure $N_c$ du filtre est : $N_c = \frac{1}{2\pi RC}$.
This question includes visual content: Figure 7 montre un schéma de circuit électrique étiqueté (F). À gauche, il y a une tension d'entrée $u_E(t)$. Le circuit se compose d'un condensateur $C$ en série avec une résistance $R$ placée en parallèle à la sortie. La tension de sortie $u_S(t)$ est mesurée aux bornes de la résistance $R$. C'est un filtre RC passe-haut classique.
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Bonjour. Dans cet exercice, nous allons étudier un filtre électrique. Commençons par définir ce qu'est un filtre et ses caractéristiques.
Exercice 2 : Étude d'un Filtre Électrique
À la question un, petit a, on nous demande de définir un filtre électrique. Un filtre est un quadripôle capable de transmettre des signaux de certaines fréquences tout en atténuant d'autres.
A- 1) Définitions
a) Définition d'un filtre électrique :
Pour le petit b, quelle est la différence entre un filtre passe-bas et passe-haut ? Un filtre passe-bas laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes. À l'inverse, un filtre passe-haut laisse passer les hautes fréquences et atténue les basses.
b) Filtre passe-bas vs passe-haut :
* Passe-bas : Transmet les signaux de fréquences $N < N_C$.
* Passe-haut : Transmet les signaux de fréquences $N > N_C$.
Passons à la partie mathématique. On nous donne l'expression de la transmittance T et on veut montrer que le gain G suit la formule indiquée.
2) Étude du gain G
Rappel : $G = 20 \log T$
Remplaçons T par son expression. Comme le logarithme d'une racine carrée est un demi du logarithme, la racine au dénominateur va transformer le coefficient vingt en dix avec un signe négatif.
En utilisant les propriétés des logarithmes, l'exposant moins un demi sort du log. Vingt multiplié par moins un demi nous donne bien moins dix.
On obtient l'expression finale demandée.
Pour la question deux b, cherchons la valeur maximale du gain, notée G zéro. Le gain est maximal quand le terme à l'intérieur du logarithme est minimal.
2) b) Valeur maximale du gain $G_0$
Lorsque la fréquence N tend vers l'infini, le terme un sur N carré tend vers zéro. Le logarithme porte alors sur la valeur un.
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