Analyse d'un circuit RLC en régime sinusoïdal forcé
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PHYSIQUE
Exercice 1 (6 points)
On réalise le circuit série constitué d'un générateur basse fréquence (GBF), d'une bobine d'inductance L et de résistance r, d'un condensateur de capacité C et d'un conducteur ohmique de résistance $R = 100 \, \Omega$. Le GBF délivre une tension sinusoïdale $u(t) = U_m \sin(2\pi Nt)$, d'amplitude constante $U_m$ et de fréquence $N$ réglable. Un système d'acquisition permet d'enregistrer simultanément les tensions $u(t)$ aux bornes du générateur et $u_C(t)$ aux bornes du condensateur. Pour une valeur donnée de la fréquence $N$, on obtient les chronogrammes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ de la figure 2.
[Graphique de Tension (V) en fonction de t (ms)]
1- a- Donner la relation entre l'intensité $i(t)$ du courant électrique et la tension $u_C(t)$.
b- Montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de $u_C(t)$ s'écrit :
$$LC \frac{d^2u_C(t)}{dt^2} + (R + r)C \frac{du_C(t)}{dt} + u_C(t) = U_m \sin(2\pi Nt) \quad (I)$$
2- L'équation différentielle (I) admet une solution de la forme : $u_C(t) = U_{Cm} \sin(2\pi Nt + \varphi_C)$.
a- Justifier que la courbe $(\mathcal{C}_2)$ correspond à $u_C(t)$.
b- Préciser la valeur de la fréquence $N$ et celle de la tension maximale $U_{Cm}$.
c- Déterminer la valeur de la phase initiale de la tension $u_C(t)$.
d- Justifier que le circuit est le siège d'une résonance d'intensité.
3- Pour cette fréquence $N$, l'intensité maximale $I_m$ du courant électrique qui circule dans le circuit a pour valeur $I_m = 86,5 \, mA$.
a- Vérifier que la valeur de la capacité $C$ du condensateur est égale à $2,2 \, \mu F$.
b- Calculer la valeur de l'inductance $L$ de la bobine.
c- Déterminer la valeur de la résistance totale du circuit et déduire celle de la résistance $r$.
4- Justifier que la puissance moyenne, absorbée par le circuit pour cette fréquence $N$, est maximale.
This question includes visual content: Un graphique (Fig. 2) représentant deux tensions sinusoïdales en fonction du temps t en millisecondes (ms). L'axe vertical représente la Tension (V) allant de -20 à +20. L'axe horizontal est le temps t de 0 à 8 ms. La courbe C1 a une amplitude de 10V et passe par l'origine. La courbe C2 a une amplitude d'environ 25V et est déphasée par rapport à C1 (elle atteint son maximum avant C1). Des graduations quadrillées permettent de lire les périodes : la période T est de 4 ms.
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Bonjour ! Aujourd'hui nous allons étudier ce circuit R.L.C. en série en analysant ses chronogrammes. Première question : donner la relation entre l'intensité i de t, et la tension aux bornes du condensateur u indice c de t.
1-a: Relation courant - tension
Nous savons que l'intensité est la dérivée de la charge par rapport au temps. La charge étant égale à la capacité C fois la tension, on obtient l'intensité i de t égale à la capacité C fois la dérivée temporelle de la tension.
Passons à l'équation différentielle en appliquant la loi des mailles. La somme des tensions aux bornes des trois récepteurs est égale à la tension du générateur.
1-b: Équation différentielle
Remplaçons chaque terme. La tension de la bobine est L fois la dérivée de i, plus petit r fois i. Celle de la résistance est grand R fois i. On peut factoriser l'intensité.
Or, si l'on dérive le courant i de t, on obtient C fois la dérivée seconde de u indice c.
En l'intégrant dans notre équation et en remplaçant u de t, on vérifie l'équation différentielle du second ordre demandée !
Question 2 a : identifier les courbes sur l'oscillogramme. L'énoncé précise que le générateur u de t suit un sinus de phase nulle.
2-a: Identification des courbes
- L'expression de $u(t)$ implique qu'à $t=0$, la valeur est nulle et la pente en hausse.
Sur le graphique, c'est la petite courbe C un qui a ce comportement. La grande courbe C deux, elle, débute par un creux négatif : c'est donc la tension condensateur.
- La courbe $\mathcal{C}_1$ croise $(0,0)$ en augmentant. L'autre démarre à un minimum.
Déduisons à présent la fréquence. Les différents croisements périodiques sont séparés de 4 divisions.
2-b: Paramètres $N$ et $U_{Cm}$
Puisque chaque division mesure une milliseconde sur l'axe des temps, la période T est de quatre millisecondes. La fréquence mesurée est donc deux cent cinquante Hertz.
Pour l'amplitude condensateur, cherchons le pic de notre courbe C deux. L'axe vertical est gradué de cinq en cinq Volts.
La crête est de cinq divisions, ce qui correspond à une amplitude maximale atteignant 25 Volts.
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